内接楕円の作図の証明
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
三角形に内接する楕円の作図
三角形に内接する楕円を作図するためには５点が必要。
３点は接点で決まっているが、あと２点必要。
そこで、極線を使って作図する。
この時、なぜ内接楕円になるのか証明をしていなかった。
証明は、極線の性質のみでできそうと感じたが、難しくて二日かかってしまった。
なお、
(H)はHの極線という意味。
Kが接点だということが言えればOK。
これは、射影で楕円に拡張できるし、外接楕円も同様に作図できる。
まず円の場合で証明してみます。
証明
JEと(H)の交点Kが接点であることを示す。
Hから接線をひき、ABとの交点をDとする。Kは接点。
さらに、Lの接線をひく。(K)との交点をOとする。
□EFLKは内接四角形で□DBTOは外接四角形。
外接内接四角形の定理によって、
極Mを通る極線の極はPJHNで、外接内接四角形の性質によりDの極線はKJを通る。
また、HKDは一直線上にあるので、その極線は一点Kを通る。
よって、JEを結んだ線と(H)の交点は接点である。
Lについても同様で、EFLGKによって内接する円（二次曲線）が描ける。