SEI TU A DETTARE LA LINEA!

UNA PREMESSA: FACCIAMO IL PUNTO SUGLI STRUMENTI

Per lavorare in questa pagina avrai bisogno di costruire funzioni, ed in particolari funzioni definite a tratti. A questo scopo Geogebra mette a disposizione due istruzioni:

VERSIONE 1: Se(Condizione, Allora)
VERSIONE 2: Se(Condizione, Allora, Altrimenti)

La prima versione controlla Condizione: quando è vera restituisce Allora, altrimenti non dà nessun risultato - quindi quando la Condizione è falsa il risultato della funzione non è definito. Ad esempio se scriviamo y = Se(-2<x<3, 4+2x) otteniamo una funzione che SE x è compresa tra -2 e 3 restituisce 4+2x, altrimenti non è definita - la funzione non esiste fuori da questo intervallo. In termini matematici equivale ad una funzione definita a tratti... con un solo tratto!

La funzione è riprodotta nell'animazione qui sotto.

La funzione f è la retta indicata, ma solo tra -2 e 3: fuori da questo intervallo la funzione non è definita e quindi non restituisce alcun valore. Puoi fare doppio clic sulla definizione della funzione per vedere come è fatto il comando che l'ha generata

la seconda versione di questo comando ci permette di costruire situazioni più articolate: se Condizione è vera restituisce Allora, quando invece Condizione è falsa il risultato è Altrimenti. Ad esempio se dobbiamo riprodurre la funzione definita a tratti

potremmo provare a scrivere y=se(x<2, x+3, 5-x) Vedi il risultato qui sotto

Per ottenere risultati ancora più articolati è possibile innestare una dentro l'altra più funzioni del secondo tipo. Ad esempio per ottenere

Possiamo utilizzare una combinazione del tipo

viene calcolata in questo modo: se

(primo intervallo), verrà utilizzata l'espressione

altrimenti fa un ulteriore controllo: se è vera

(secondo intervallo) calcoleremo la

tramite l'espressione

, altrimenti (terzo intervallo) useremo la formula

Quando si utilizza una tecnica di questo tipo è importante controllare che le funzioni siano innestate correttamente: ogni nuovo Se svolge il ruolo dell'Altrimenti per il Se precedente; inoltre ogni parentesi che viene aperta deve essere chiusa nel punto opportuno. Qui sotto vedi la funzione; come al solito puoi cliccare sulla sua espressione per verificare come è fatta.

Si può innestare un numero qualsiasi di controlli uno dentro l'altro, ottenendo così funzioni costituite da un qualsiasi numero di tratti. Per vedere alcuni esempi di funzioni costruite in questo modo fa riferimento all'applet qui sotto, che puoi cliccare ed ispezionare a piacere.

ALCUNI ESEMPI DI FUNZIONI DEFINITE A TRATTI. Osserva i grafici delle varie funzioni per capirne il significato e clicca sulle varie espressioni per capire come sono state costruite.

LE FUNZIONI COME LEGAME TRA UN INPUT ED UN OUTPUT Abbiamo definito una funzione come un particolare tipo di connessione tra due insiemi, che per ogni elemento di partenza, o input, restituisce un risultato, o output. Una delle applicazioni più frequenti di questo tipo di strumento è la possibilità di stabilire la legge con cui definiamo come deve comportarsi un certo elemento. Vediamo un semplice esempio. Supponiamo di avere una macchina in cui c'è un disco verde. Noi vogliamo che una volta che la macchina sia accesa il disco sia

in una certa posizione per i primi due secondi, ad esempio nel punto in un certo sistema di riferimento
in un'altra posizione per i tre secondi successivi, ad esempio nel punto

[ipotizziamo che dopo cinque secondi il ciclo ricominci]. L'animazione sotto usa una funzione per impostare questo comportamento:

la variabile , libera di cambiare da 0 a 5, simula il tempo che passa - e quando attiveremo l'animazione [premendo sulla freccia nell'angolo in basso a sinistra del piano cartesiano] SARÀ il tempo che passa.
la funzione , definita a tratti, restituisce come risultato quando l'input è minore o uguale di 2, e quando l'input è compreso tra 2 e 5. Proprio come serve a noi!

A questo punto è fatta! Usiamo la variabile

come input della funzione

e prendiamo

, il risultato che ci restituisce la funzione (e che abbiamo modellato come vogliamo noi), per usarlo come coordinata

del nostro disco verde.

Nota: Geogebra permette di animare gli slider, facendo cambiare automaticamente la posizione del cursore e quindi il valore della variabile. Questa opzione ci sarà utile per definire funzioni il cui output deve cambiare in funzione del tempo.

UN SEMPLICE ESEMPIO DI FUNZIONE. SVOLGI LE MODIFICHE INDICATE (CAMBIA n PER VEDERE LE VARIE SFIDE - FUNZIONA BENE SU PC)

CREA UN PUNTO A IN MODO CHE MANIPOLANDO LO SLIDER a ESSO SI MUOVA LUNGO LA CURVA DELLA FUNZIONE IN FIGURA

Sia la coordinata

che la coordinata

del punto dipenderanno dal parametro

. Definisci l'espressione di

che, dato un certo valore di questo parametro, permette di calcolare la corrispondente coordinata

del punto

. Dovrebbe essere abbastanza semplice. Poi definisci l'espressione che calcola la coordinata

del punto in funzione del valore di

. Costruisci un punto le cui coordinate sono date da queste due espressioni... ed il gioco è fatto!

QUESTO PUNTO VERDE HA UN COMPORTAMENTO CHE DIPENDE DAL TEMPO CHE PASSA - (IN REALTÀ IL TEMPO È SIMULATO DA UN PARAMETRO ANIMATO)! PROVA A STUDIARE LA SITUAZIONE E A RIPRODURLA!

NOTA: se necessario quando lo slider del tempo è visibile puoi anche trascinarlo manualmente per verificare accuratamente le caratteristiche del modo del punto secondo per secondo.

CONSIDERA UN PUNTO "A"; IL VALORE DELLA SUA COORDINATA x È DATO DALLA FUNZIONE f, MENTRE LA COORDINATA y VALE SEMPRE 8. COME TI ASPETTI CHE SI COMPORTI?

Generalizziamo ora il concetto. Vogliamo costruire un punto che percorra in continuazione il rettangolo riportato nell'animazione qui sotto, partendo da puunto A e muovendosi in senso antiorario. Supponiamo che il punto si muova alla velocità di 1 quadretto al secondo.

costruisci uno slider t la cui estensione sia pari al tempo necessario al punto per compiere un intero giro. Nelle opzioni dello slider (accessibili con il tasto destro) specifica che dovrà muoversi in modo crescente.
definisci la funzione a(t) che restituisca, dato un qualsiasi istante t, il valore che dovrà avere la coordinata x del punto
definisci la funzione b(t) che restituisca, dato un qualsiasi istante t, il valore che dovrà avere la coordinata y del punto

A questo punto costruisci il punto usando le funzioni a(t) e b(t).

Crea un punto P che dovrà muoversi sul rettangolo in figura: crea uno slider della lunghezza che ritieni più comoda, poi crea due funzioni: una descriverà il comportamento della coordinata X, l'altra la coordinata Y, al variare del valore mostrato dallo s

UNA VARIANTE IMPEGNATIVA Ecco una sfida per toccare con mano quanto il concetto di funzione può rendere flessibile ogni tua creazione. Crea uno slider v che vada da 1 a 4: indicherà la velocità del punto (1= un quadretto al secondo, 4=quattro quadretti al secondo). Come devi modificare le tue funzioni in modo che cambiando il valore di v il punto si muova di conseguenza? Per aiutarti disegna il grafico della tua funzione a(t) che calcola la x al variare del tempo. Come cambia il grafico se ad esempio il punto non si muove più con v=1 ma con v=2? E se v=4? Quindi per un v generico...

QUESTO SEMAFORO HA UN CICLO DI 20 SECONDILA LUCE SI SPOSTA IN UNA SUA POSIZIONE SPECIFICA E CAMBIA COLORE. RIESCI A RIPRODURLO? (Ti serviranno DUE funzioni: una descrive la posizione y del punto al passare del tempo, l'altra il suo COLORE. Suggerimento: c

UNA POSSIBILE VARIANTE: il semaforo ha tre colori, lo sappiamo tutti. Crea un tuo semaforo che resta rosso 5 secondi, diventa giallo per 2 secondi poi verde per i successivi 8 secondi. Ovviamente ogni luce deve essere nella corretta posizione.

Trascina il punto C su piano ed osserva le sue caratteristiche. Da cosa dipendono le sue caratteristiche (cambiano IN FUNZIONE di cosa?). Cerca di riprodurre questa situazione - prima solo la dimensione della circonferenza, poi cerca di lavorare anche sul