A Reta de Simson-Wallace e a igualdade /desigualdade de Ptolomeu

Se ABCD é um quadrilátero de diagonais AC e BD então: AC.BD AB.CD + AD.BC, ocorrendo a igualdade somente se o quadrilátero ABCD estiver inscrito na circunferência. Nesta aplicação podemos comprovar dinamicamente a veracidade da desigualdade e da igualdade de Ptolomeu. Além desse notório teorema da geometria Euclidiana, observamos a formação do triângulo pedal GFE do triângulo ABC (desigualdade de Ptolomeu) e a reta de Simson-Wallace definida pelo triângulo degenerado GFE (igualdade de Ptolomeu). Roteiro de Investigação 1. Abra um novo arquivo no GeoGebra e escolha na barra de ferramentas a opção "CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS". 2. Em seguida, selecione "PONTO SOBRE UM OBJETO" e marque o ponto D diferente de A, B e C na circunferência. 3. Usando a ferramenta "CONTROLE DESLIZANTE", estabeleça o controle "a" com valor mínimo igual à abscissa x do ponto D e máximo com valor igual a x+4. Analogamente, defina o controle "b" com valor mínimo igual à ordenada y do ponto D e máximo y+4. 4. No campo "ENTRADA", digite o ponto D=(a,b) e selecione a opção "REDEFINIR". 5. Com a ferramenta "POLÍGONO", desenhe o quadrilátero ABCD inscrito na circunferência. 6. A partir do ponto A trace, com a ferramenta "SEGMENTO", a diagonal AC do quadrilátero ABCD. Analogamente, trace do vértice B a diagonal BD. 7. Do ponto D trace, com a ferramenta "RETA PERPENDICULAR", retas perpendiculares aos lados do triângulo inscrito ABC e marque, usando "INTERSECÇÃO DE DOIS OBJETOS", os pontos E, F e G de intersecção entre essas perpendiculares e os lados do triângulo ABC. 8. Caso necessário, prolongue os lados do triângulo ABC usando a ferramenta "RETA". 9. Usando o ícone "POLÍGONO", determine o triângulo degenerado GFE. A reta que passa por E, F e G é a reta de Simson-Wallace de polo D em relação ao triângulo ABC. 10. Para um melhor efeito visual, clique com o botão direito do mouse sobre todas as construções auxiliares, selecione a opção "EXIBIR OBJETO" e oculte, mantendo apenas a circunferência, o quadrilátero ABCD, as diagonais AC e BD e o triângulo degenerado GFE. 11. Com a opção "DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO", determine a medida dos lados AB, BC, CD, DA, das diagonais AC e BD do quadrilátero inscrito ABCD e constate através dessas medidas a igualdade de Ptolomeu.

12. Para finalizar, clique com o botão direito do mouse sobre os controles deslizantes "a" e "b", escolha a opção "ANIMAR" e observe o movimento do vértice D do quadrilátero ABCD e a formação do triângulo pedal GFE, estabelecendo assim a desigualdade de Ptolomeu.