Begegnungsaufgabe
Aufgabe
Uelzen liegt an der Straße von Lüneburg nach Gifhorn. Es befindet sich 40 km von Lüneburg entfernt und von Uelzen nach Gifhorn sind es nocheinmal 60 km. Von Lüneburg fährt um 8:00 Uhr ein Mopedfahrer mit 35 km/h nach Gifhorn. Um 8:40 Uhr fährt ein Radfahrer von Uelzen mit 15 km/h nach Gifhorn.
- Wann und wo treffen sie sich?
- Der Mopedfahrer will den Radfahrer nach 60 km einholen. Wann muss er starten?
Strategie für 1.
Variablen festlegen:
s = Weg in km von Lüneburg aus gemessen
t = Zeit in h von 8:00 Uhr an gemessen
Sich einen Überblick in einem Schaubild verschaffen:
- Wir tragen t auf der x-Achse auf und s auf der y-Achse (s. unten)
- Moped: Start bei M1=(0|0) sprich um 8:00 Uhr in Lüneburg In einer Stunde legt es einen Weg von 35 km zurück. Das ergibt einen zweiten Punkt M2. Du kannst dir auch das Steigungsdreieck dazu ansehen. Die Gerade durch diese Punkte beschreibt die Bewegung des Mopeds.
- Rad: Start um 8:40 in Uelzen. Diese Zeit entspricht t = 40/60 = 2/3. So ergibt sich R1=(2/3|40). Entsprechend ergibt sich mit der Geschwindigkeit 15 km/h und dem Steigungsdreieck der zweite Punkt R2 und somit eine zweite Gerade, die die Bewegung des Fahrrads beschreibt.
- Der Schnittpunkt der Geraden (kannst du anschalten) liefert Zeitpunkt und Ort des Zusammentreffens, wenn das Moped das Rad überholt.
Rechnerische Umsetzung
- Stelle für beide Geraden Gleichungen der Form auf. Tipp: Entweder du benutzt die Zweipunktform oder du bestimmst mit dem Steigungsdreieck erst die Steigung und setzt dann einen Punkt ein, um b zu bekommen.
- Löse dieses Gleichungssystem dann mit dem Gleichsetzungsverfahren.
Simulation
Schalte die Geradenpunkte aus und aktiviere "Simulation". Jetzt kannst du mit dem grünen "Ziehpunkt" die Zeitachse entlangfahren und auf der Weg-Achse sehen, wie die beiden Fahrzeuge sich bewegen.
Strategie für 2.
Wir arbeiten wieder mit den beiden Geradengleichungen:
Beim Radler ändert sich nichts, d.h. die Gerade bleibt gleich. Beim Mopedfahrer ändert sich die Geschwindigkeit nicht, d.h. die Steigung der Geraden bleibt gleich.
Um den Startzeitpunkt des Mopeds zu ändern bleibt uns also nur, den y-Achsenabschnitt der Gerade zu ändern. Das kannst du tun, indem du den Punkt M1 auf der y-Achse verschiebst.
Verschiebe ihn so, dass sich die beiden Fahrzeuge bei 60 km treffen. (Schnittpunkt aktivieren)
Gib nun die neue Startzeit des Mopeds an (Der Zeitpunkt, an dem das Moped sich bei 0 km befindet)
Rechnerische Umsetzung
- Eben beim Ablesen der Zeit im Schaubild hast du die Nullstelle der Moped-Funktion abgelesen. Die muss nun also berechnet werden. Nullstellen berechnet man, indem man den Funktionsterm Null setzt. Also brauchen wir die neue Funktionsgleichung für das Moped. So weit kennen wir sie schon:
- Woher bekommen wir diesmal das b? Wir brauchen einen Punkt zum einsetzen. Das kann der Schnittpunkt der Geraden sein. Von ihm kennen wir zumindest schon die s-Komponente (die 60 km). Und die t-Komponente, also den Zeitpunkt der Begegnung können wir einfach aus der Rad-Funktion berechnen, indem wir dort die 60 km für s einsetzen.
- Das waren die Ideen vom Ziel her entwickelt. Jetzt kannst du also in umgekehrter Reihenfolge loslegen: t-Komponente des Schnittpunkts mit der Rad-Funktion ausrechnen, und dann gemeinsam mit s=60 in die Moped-Gleichung einsetzen. So bekommst du das fehlende b. Schließlich die rechte Seite der Moped-Gleichung Null setzen und nach t auflösen.
Lösung?