Tercer plato

Un hombre quiere hacer una casa sobre una gran trama triangular de terreno, construyendo después tres carreteras rectas que lleven de la casa a un lado del triángulo y que sean perpendiculares al lado. El triángulo es equilátero. ¿Dónde debería situar su casa para minimizar la suma de las longitudes de las tres carreteras? (Puedes comprobar tu respuesta completando la construcción en el applet anterior.)

En el siglo XX, una pareja de matemáticos está tomando café. Él: ¿Te das cuenta de que mi edad solo fue múltiplo de la tuya una vez? Ella: Es verdad, y es más, ya no volverá a suceder. Él: Además, la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras. Ella: Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año en que estamos. ¿En qué año nació ella? ¿Y su hijo?

Los concurrentes a un baile, que tiene lugar en un local bastante espacioso, se hallan en ciertos momentos todos sentados, y otras veces están todos bailando (cada cual con su pareja). En el salón hay exactamente 41 sillas. En el grupo de los asistentes se cuentan dos mujeres por cada hombre, lo que hace que, cuando bailan todos, algunas de las mujeres tengan que bailar entre sí. Son más las personas morenas que las rubias, pues entre las damas hay justamente el doble de morenas que de rubias. Solamente una persona no es rubia ni morena, sino con el pelo color castaño y es precisamente la más joven de las muchachas. Hay también un chico rubio, que baila muy bien por ser profesor de bailes modernos. Otro asistente -moreno- canta con mucho gusto, y, finalmente, hay un cojo que es rubio y bailó solamente una vez y con dificultad. ¿Cuántas personas hay en el salón de baile?

¿Qué números pueden escribirse como suma de naturales consecutivos? ¿Hay algunos que no se pueden escribir?

Tomamos varios puntos de una circunferencia y trazamos todas las cuerdas posibles, dividiendo así el círculo en regiones. Para 2, 3, 4 y 5 puntos se obtienen, respectivamente, 2, 4, 8 y 16 regiones. ¿Cuántas regiones resultan para 6 puntos?

Un camión cargado hasta los topes de gasóleo y víveres puede llegar a recorrer hasta 400 km a través del desierto. En el campamento base, en un extremo del desierto, hay gran cantidad de ambos productos. Situando estratégicamente montones con suministros a lo largo de su ruta, puede viajar hacia el interior del desierto y volver a la base, mucho más lejos que el límite de los 200 km que le permitiría una sola carga. ¿Cuántos viajes desde la base serán necesarios para penetrar 600 km en el desierto, y volver sano y salvo?

Dos hermanos heredadaron un rebaño de ovejas que deciden vender para repartirse por partes iguales la suma obtenida. Cada oveja vale tantos euros como ovejas hay. El precio de venta está constituido por billetes de 10 €, más unas cuantas monedas sueltas de un euro, que no llegan a 10. El reparto se hace de esta manera: el hermano mayor toma un billete de 10 €, el hermano menor otro, y así hasta el último billete de 10 € que le toca al mayor, en tanto el hermano menor recoge las monedas de un euro. Para equilibrar la diferencia, el hermano mayor le da de su bolsillo algunas monedas de un euro. ¿Cuántas?

A una función de circo asisten 120 personas que pagaron un total de 120 euros. Los hombres pagaron 5 €; las mujeres, 2 €; y los niños, 10 céntimos cada uno. ¿Cuántos niños asistieron?

Hace mucho tiempo, un granjero compró 100 animales por 100 dólares. Las vacas valían 10 dólares cada una, los cerdos 3 dólares cada uno y las gallinas medio dólar cada una. ¿Cuántas gallinas compró?

Una ración, tres cervezas y siete botellas de agua cuestan 14 €; una ración, cuatro cervezas y diez aguas cuestan 17 €. Entonces, ¿cuánto cuesta en total una ración, una cerveza y un agua?

En un campo la hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días, y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días?

Un vendedor de telas gana el 30% sobre el precio de coste; pero un día descubre un metro defectuoso que hace aumentar sus beneficios al 33% ¿Cuánto mide en realidad el "metro" del vendedor tramposo?

Un palacio tiene una gran cantidad de habitaciones comunicadas entre sí, y algunas también con el exterior, mediante las correspondientes puertas. Cada habitación tiene un número par de puertas. El exterior del palacio está perfectamente custodiado por 33 guardianes, de forma que ninguna puerta exterior carece de guardián. Uno de los guardianes ha de ausentarse urgentemente y no se le puede reemplazar. ¿Cómo se las arreglarán los restantes para que ninguna puerta quede sin guardián?

Una organización clandestina se compone de 15 activistas y un determinado número de coordinadores, que es el máximo compatible con las siguientes normas de seguridad: ningún coordinador conoce la lista completa de los 15 activistas; ninguna pareja de coordinadores ha de poder reconstruir la lista completa; cualquier grupo de tres coordinadores ha de poder reconstruir la lista completa. ¿Cuántos coordinadores hay?

Coge un papel cuadriculado. Elige cinco puntos de la cuadrícula, los que quieras, pero que no haya tres alineados. Ahora únelos con segmentos rectos, cada uno con los otros cuatro. ¿Es seguro que al menos una de las líneas que has trazado ha de pasar por otro punto del cuadriculado?

Averigua cuál debe ser, siguiendo la pauta, el siguiente número de la sucesión: 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840,...

Existe en Trafalgar Square una columna cilíndrica llamada columna de Nelson. Su altura es de 200 pies (¡estos británicos no se deciden a medir como el resto del mundo!), y su circunferencia de 16 pies con 8 pulgadas; está rodeada por una guirnalda en espiral que la circunda exactamente cinco veces. ¿Qué longitud tiene la guirnalda?

Encuentra el número natural más pequeño que cumpla la siguiente condición: al tomar la primera cifra de la izquierda del número, y colocarla en el último lugar de la derecha (o sea, por ejemplo, 4218 se convertiría en 2184), el número resultante sea una vez y media el original. ¿Cuántas cifras tiene ese número?

El número de cualquiera de esas casas que estoy viendo menos la suma de sus cifras respectivas es igual a la edad de mi madre (ya jubilada) y coincide con el cuadrado de la edad de mi hija. ¿Cuáles son los números de esas casas?

Una oruga se encuentra en un extremo de una cuerda de goma. La cuerda tiene 1 km de largo. La oruga va reptando a lo largo de la cuerda con la marcha constante de 1 cm por segundo. Pero transcurrido el primer segundo la cuerda es estirada 1 km, midiendo entonces 2 km; transcurrido otro segundo la cuerda vuelve a estirarse hasta medir 3 km, y así sucesivamente. ¿Llegará la oruga a alcanzar el otro extremo de la cuerda?

Una escalera está apoyada en el piso y en una pared vertical. Exactamente en el peldaño central de la escalera duerme un gato. La escalera empieza a deslizarse hacia abajo. El gato describe entonces un arco de circunferencia. (La distancia entre el gato y el vértice formado por el suelo y la pared se mantiene siempre constante, ya que es la mitad de la diagonal de un rectángulo cuya otra diagonal es la longitud de la escalera.) Si el gato no estuviese exactamente en el centro, ¿cómo sería su trayectoria? Compruébalo realizando la construcción en el applet anterior.

Un grupo de aeroplanos tiene su base en una pequeña isla. Cada aeroplano tiene exactamente el combustible necesario para dar media vuelta alrededor del mundo. Mientras están en vuelo es posible pasar cualquier cantidad de combustible de un avión a otro. La única fuente de combustible está en la isla, y para los fines del problema no cuenta el tiempo que se pierde en cargar nafta, ya sea en el aire como en tierra. ¿Cuál es el menor número de aviones que permite que uno de ellos dé la vuelta completa al mundo (alrededor de un círculo máximo)? (Se considera que todos los aviones tienen igual promedio de velocidad y de consumo de combustible, que solo pueden aterrizar en la isla y que todos regresan en perfectas condiciones a la misma.)

Había un pequeño pueblo, de unos pocos cientos de habitantes, en el que ocurrían hechos horribles y sorprendentes: 1) Todos los hombres eran lógicos perfectos y cada uno sabe que los demás lo son. 2) Cada hombre conocía al dedillo el comportamiento de cada una de las mujeres del pueblo, salvo el de su propia esposa, si es que se trata de un hombre casado. Por otra parte, está absolutamente prohibido hablarle a un hombre de su esposa. 3) Una repugnante y ancestral tradición machista, imponía que el hombre que descubriera la infidelidad de su mujer debería asesinarla en la plaza del pueblo esa misma noche. 4) Hay 40 mujeres infieles en el pueblo. La vida seguía su curso, sin ninguna muerte, cuando un día de junio, exactamente el primero de mes, el alcalde convocó a todos los hombres y les dijo: Lamento mucho tener que decir lo siguiente, pero es necesario; en este pueblo hay al menos una mujer infiel. La reunión terminó y los hombres se dispersaron. ¿Qué es lo que ocurrió y cuándo?