Volume da Esfera
Para calcularmos o volume da esfera, observe a seção plana na esfera verde (de raio r), representada por uma círculo de raio t. Podemos pensar o volume da esfera como o conjunto de todos as seções paralelas entre si.
Como sabemos, a área do círculo é , contudo se queremos encontrar o volume apenas em função do raio, precisamos considerar que não conhecemos o valor de t.
Observando a seção na esfera, podemos fazer uma relação entre o raio da esfera, o raio da seção e a distância entre o centro da esfera ao centro da seção (distância s). Esta relação se estabelece na forma de um triângulo retângulo, ou seja, aplica-se ao teorema de Pitágoras. Em termos formais: .
Isolando e substituindo na fórmula da área do círculo chegamos à expressão .
Tal expressão arremete a fórmula da área de uma coroa circular, cuja raio do círculo maior é r e do círculo menor é s. Isso quer dizer, que se encontrarmos outro sólido de mesma altura que a esfera (2r) cuja seções planas tenham áreas equivalentes às da esfera, podemos deduzir seu volume.
Para isso, observe o cilindro de altura 2r e base de raio r, contendo em seu interior dois cones retos equivalentes de vértices coincidentes e bases coincidentes com as bases do cilindro. Se secionarmos o cilindro por um plano ortogonal ao seu eixo, podemos perceber que a seção entre o plano, o cilindro e um dos cones são dois círculos concêntricos. Pensando na área da coroa determinada por esses dois círculos, percebe-se que o raio maior é r, porém para conhecermos o raio menor, precisamos observar que uma seção vertical do cilindro é um quadrado, visto que sua altura é 2r, ou seja, igual ao diâmetro da base (para melhor observar, mude a vista da janela 3D para uma visão frontal).
Isso significa que a geratriz do cone coincide com a diagonal do quadrado, formando um ângulo de 45º tanto com a base como com o eixo do cilindro. Por essa razão qualquer triângulo formado pelo raio menor da coroa e pelo vértice dos cones será sempre um triângulo retângulo isósceles, logo, a distância do vértice para o centro da seção é igual ao raio menor, chegando assim a equivalência entre as áreas de seção.
A coroa circular representa a área da seção do cilindro menos a área da seção do cone. Dessa maneira, podemos concluir que o volume da esfera é igual volume de um cilindro de algura 2r e base de raio r, menos o volume de dois cones circulares de altura r e raio de base.