Disuguaglianze triangolari
Disuguaglianze che coinvolgono angoli esterni e interni
Nella seguente attività puoi modificare le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli spostando a piacere con il mouse i tre vertici.
Esiste una relazione di disuguaglianza, che resta valida al variare del triangolo, tra l'ampiezza dell'angolo esterno
DBC e quelle degli angoli interni?Hai notato che l'angolo esterno di vertice B, al variare del triangolo, resta sempre maggiore degli angoli interni di vertici A e C?
Non è solo una tua congettura, può essere dimostrato. Vale infatti il seguente terema.
Primo teorema dell'angolo esterno
In ogni triangolo ciascun angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacente.
Nella seguente attività si dimostra, in particolare, che l'angolo esterno di vertice B è maggiore dell'angolo interno di vertice C.
In modo del tutto analogo, considerando l'angolo esterno individuato dal lato AB e dal prolungamento del lato CB [che essendo opposto al vertice a quello precedentemente considerato è ad esso congruente] e tracciando la mediana condotta dal vertice C, si arriva a dimostrare che l'angolo esterno in B è maggiore dell'angolo interno in A.
Disuguaglianze che coinvolgono i lati e gli angoli interni
Nella seguente attività puoi modificare le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli spostando a piacere con il mouse i tre vertici.
Esiste una relazione, che resta valida al variare del triangolo, tra le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli opposti?
Hai notato che se ordini i lati per lunghezze crescenti (o decrescenti), le ampiezze degli angoli ad essi opposti risultano pure ordinate in senso crescente (o decrescente)?
Vale infatti il seguente teorema
Se in un triangolo un lato è maggiore di un altro, allora l'angolo opposto al primo è maggiore dell'angolo opposto al secondo.
Per la dimostrazione vedi qui.
Vale anche il teorema inverso:
Se in un triangolo un angolo è maggiore di un altro, allora il lato opposto al primo è maggiore del lato opposto al secondo
Per la dimostrazione vedi qui.
Cosa succede quando un triangolo è isoscele? Un tale triangolo ha, per definizione, due lati uguali. Gli angoli opposti a tali lati sono gli angoli alla base che, per una nota proprietà dei triangoli isosceli, sono uguali.
Viceversa, se un triangolo ha due angoli uguali allora è isoscele, perciò i lati ad essi opposti, essendo i lati obliqui, sono uguali. Chi non conosce le proprietà citate può consultare il foglio di lavoro geogebra dedicato.
Disuguaglianze tra i lati
Nella seguente attività puoi costruire un triangolo dati i lati, quando questo è possibile.
Puoi modificare il lato AB spostando con il mouse i suoi estremi.
Per gli altri due lati scegli le lunghezze muovendo il secondo estremo dei segmenti A1C1 e B2C2, che sono rispettivamente conguenti ai lati AC e BC del triangolo.
Nel riquadro di destra puoi verificare se certe disuguaglianze sono o non sono verificate.
Avrai notato che se la lunghezza di AB è maggiore della somma delle lunghezze di AC e CB o minore del valore assoluto della loro differenza il triangolo non può essere costruito. Lo stesso può dirsi, scambiando i ruoli, dei lati BC e AC. Vale infatti il seguente teorema:
In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due lati e maggiore della loro differenza (intesa come differenza tra il maggiore e il minore).
Per la dimostrazione delle due tesi vedi qui e qui.