Espacio cociente. Diferencia de vectores.
Una construcción muy útil es la de espacio vectorial cociente. Al hacer un cociente uno se olvida de ciertas propiedades de los vectores y se concentra únicamente en otras, "identificando" como uno solo ciertos conjuntos de vectores: aquellos relacionados entre sí por una relación de equivalencia forman una clase de equivalencia. En el caso de los espacios vectoriales se parte de un espacio y un subespacio vectorial suyo . La relación de equivalencia para tomar el conjunto cociente es
[math display="block"]{v\sim w \iff v-w\in F\,.}[/math]
Y los elementos de , las clases de equivalencia, son de la forma
[math display="block"]{[v]=\{w,\, v\sim w\}=\{w,\, v-w\in F\}\,.}[/math]
La suma en se define sumando dos representantes cualesquiera de las clases,
que se puede demostrar está bien definida (no depende de la elección de representantes).
El producto por escalares se define igualmente usando un representante de la clase:
[math display="block"]{\begin{array}{cccc}\cdot\,: & \mathbb{K} \times E/F & \rightarrow & E/F \\& (\lambda,[v]) & \mapsto & \lambda[v]=[\lambda v]\end{array}.}[/math]
En primer lugar, recordemos la interpretación geométrica de la diferencia de vectores. En el siguiente applet, se pueden cambiar los vectores y moviendo los respectivos puntos en sus extremos.