1. und 2. Kepler'sches Gesetz
- Autor:
- Carlo Götz
Johannes Kepler änderte unser Verständnis für die Bewegung von Planten um ein Zentralgestirn, indem er 3 grundlegende Gesetzmäßigkeiten fand, denen diese Bewegungen genügen.
- Kepler'sches Gesetz: Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, die in einem der Fixpunkte steht.
- Kepler'sches Gesetz: Die Verbindungslinie Sonne-Erde (Fahrstrahl) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
- Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a ihrer Bahnen:
Frage 1
Welche Auswirkungen hat das 2. Kepler'sche Gesetz auf die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne? (Sie können sich den Geschwindigkeitsvektor anzeigen lassen.)
Frage 2
Begründen Sie mit dem Newton'schen Gravitationsgesetz (dieses war Kepler noch nicht bekannt) warum die Geschwindigkeit der Erde variiert. In welche Richtung zeigt die Kraft, die die Sonne auf die Erde ausübt in jedem beliebigen Punkt des Orbits? Zerlegen Sie anschließend die Kraft in einen Teil tangential () und einen Teil normal () zur Bahn. Was bewirken diese beiden Teilkräfte?
Konstruktionsvorschrift
Im Jahr 1605 hat Kepler die Bewegung der Erde berechnet. Dieses Applet zeigt die Kepler'sche Konstruktion, wie sie auf der folgenden Seite dargestellt ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Kepler-Gleichung.
Die große Halbachse a ist beliebig auf 4 Einheiten festgelegt worden, so dass die Umlaufdauer beträgt.
Angezeigt wird als Winkel die sogenannte wahre Anomalie - der Winkel, den die Erde aus Sicht der Sonne überstrichen hat.
Wichtig für die Konstruktion ist die sogenannte mittlere Anomalie .
Kepler konstruierte einen Kreis um den Mittelpunkt der Ellipse mit dem Radius . Auf diesen Kreis wird die Stellung der Erde projiziert, was den Punkt ergibt. Der Winkel heißt exzentrische Anomalie . Diese ist über die Kepler-Gleichung mit der mittleren Anomalie verknüpft, wobei e die numerische Exentrizität der Ellipse ist. Bei bekanntem M und e kann man die Nullstellen der transzendenten Kepler-Gleichung finden, in dem man in Geogebra zwei Funktionen und definiert und sich den Schnittpunkt der beiden Graphen der Funktionen durch Geogebra ermitteln lässt. Die senkrechte Projektion von auf den Orbit ergibt die Position der Erde.
Um den Punkt und somit den Punkt der Erde auf dem Orbit zu finden, an dem sich die Erde eine Zeitspanne zuvor befunden hat, geht man genauso vor wie für den Punkt . Man berechnet mit einer Zeit eine mittlere Anomalie und erhält das gewünschte Ergebnis.