Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom
GeoGebra

Euklids bevis for vinkelsummen i en trekant

ForfatterMorten Engelsmann

Elementerne bog I sætning 32

I denne sætning fastlægger Euklid, hvor stor en vinkel de tre indre vinkler i trekanten tilsammen udgør. En god engelsk udgave af sætningen her. Bevis Tag udgangspunkt i trekanten ABC og forlæng siden BC til punktet D. (fortsættes)

Trin 1

Trin 1
Trekant ABC, hvor siden BC er forlænget til D
Her bruger Euklid sin sætning 14 om supplementvinklen (se også teknisk matematik, 3. udgave side 75), at et vinkelben kan forlænges til en lige vinkel.

Trin 2

Trin 2
Linien CE konstrueres parallel med siden AB. Linien BC forlænges gennem C til D.
Her bruger Euklid sin sætning 28 (bog I) om vekselvinkler.

Spm 1: Supplementvinklen DCE

Liniestykket CE er konstrueret parallelt til liniestykket AB (side i trekant ABC). Vinklen DCB er lige (to rette, ), fordi konstruktionen var, at BC blev forlænget til D. I ovenstående billede (Trin 2): Hvilke vinkler deler supplementvinklen DCA i figuren Trin 2?

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Tjek mine svar (3)

Spm 2: Vinkelpar (vekselvinkler)

I billedet ovenfor (trin 2), hvilke to vinkler hører sammen som vekselvinkler, som brugt i Euklid i første bog, sætning 28 i konstruktionen, hvor en ret linie falder på to parallelle (rette) linier?

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Tjek mine svar (3)

Trin 3

Trin 3
Supplementvinklen til ACB deles af linie CE. Summen af ACB og dens supplement betragtes.
Her bruger Euklid sætningerne 15 (bog I) om at topvinklerne er kongruente, og 29 (bog I) om at en ret linie skærer parallelle linier under samme vinkel.

Spm 3: Begrundelse for kongruens (identitet)

De to vinkler CBA og DCE er markeret med den samme signatur for at indikere kongruens, en relation, der beskrives med operatoren . Kongruente vinkler er lige store, identiske, ens. Hvilke egenskaber ved konstruktionen udnytter Euklid til at fastslå, at , altså at de to vinkler er lige store?

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Tjek mine svar (3)

Afslutning på beviset

Desuden er vinklen DCB lige per konstruktion: D ligger på forlængelsen af side BC. Vinklen deles i de tre vinkler , og vinkel C, altså trekantens vinkler A, B og C. Tilsammen udgør trekantens indvendige vinkler altså den lige vinkel DCB, som er "to rette" eller 180 grader, hvilket skulle bevises.

Spm 4: En lige vinkel

Hvor mange grader er en vinkel, når den kaldes lige?

Sæt kryds ved dit svar
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Tjek mine svar (3)

Nye Materialer

Opdag Ressourcer

Udforsk emner