Exploration : Intégrales.
Exploration : Intégrales.
L’intégrale n’est rien d’autre que l’étape inverse de la dérivation. En effet, une intégrale a pour définition : Fonction qui admet pour dérivé une fonction donnée. (internaute) L’intégration nous permet de calculer uneprimitive d’une fonction. La primitive d’une intégrale est la fonction qu’il afallu dériver pour obtenir cette intégrale. Cependant il existe une infinité deprimitives car quand n’importe quel nombre constant (c’est-à-dire non dépendant
d’une variable, par exemple : x)
est dérivé, il égale 0. Parmi toutes les primitives d’une fonction f, iln’en existe qu’une seule prenant une valeur donnée b lorsque x prends une
valeur fixée a.
Ses intégrales peuvent avoir des bornes, c’est ce que l’on appel desintégrations définies. Elles sont définies par les valeurs a et b. Les dérivations peuvent servir comme outilpour calculer la pente d’une courbe a un point donner, alors que les intégrales
ont pour but de calculer l’aire entre la courbe et l’axe des ordonnés ou des
origines limitée par deux points de cette courbe, a et b.
Pour résoudre les intégrales on a plusieurs méthodes. Si l’onconnait directement sa primitive, on peut la calculer tout de suite. Sinon,
dans le programme du BI niveau supérieur nous avons appris à le faire par
substitution et par parties. Ses méthodes consistent respectivement parremplacer la fonction par une plus intégrable, et diviser la fonction en
plusieurs parties pour l’intégrer à plusieurs reprises.
Dans ce travail, je vais plutôt me focaliser sur deux méthodesd’intégration non étudiées en classes, la méthode des trapèzes et la méthode de
Simpson.
- introductions au methodes de trapezes et methode de simpson
Méthode des trapèzes :
Ses méthodes ne sont pas les plus courantes, mais peuvent cependant être pratiques lorsque il est difficile de les intégrer autrement. Elles ne nous
donnent que des valeurs approchées alors nous appelons ceci des valeurs
numériques.
-explication trapeze
La méthode des Trapèzes consiste de diviser la longueur de l'intervalle choisis en n morceaux de longueur h. C'est à dire qu'il y a maintenant n séparations ( x1,x2, x3.... xn,) et tous de longueur h dans la distance B - A. nous venons donc à la formule :
Puis nous relions les intersections des n limitations (x1,...xn) avec la courbe en petits segments, pour qu'il y ait n trapèzes. Or nous savons que les coordonnées en y de la courbe aux points x1 ; x2 ; x3..... ; xn, sont égales aux valeurs : f(x1) ; f(x2)....f(xn).
Grâce au dessin ci dessous, nous remarquons que ces trapèzes, nous pouvons les diviser en un rectangle et un triangle. Par ceci nous pouvons trouver la formule pour l'aire du 1er trapèze :
Nous savons que la valeur d'une intégrale est juste l'aire sous la courbe, alors en trouvant l'aire sous la courbe en calculant l'aire des trapèzes, nous trouverons la valeur de l'intégrale. Vu que nous avons l'aire du premier trapèze, il suffit juste d'appliquer la formule et d'additionner l'aire de tous les trapèzes se trouvant entre l'intervalle a et b.
Pour résoudre l'intégrale de la même fonction par la méthode de Simpson il faut aussi diviser l'intervalle par n bandes de longueurs h. La méthode de Simpson est l'idée de considérer chaque morceau de courbe dans les longueurs h comme une parabole.
Néanmoins pour comprendre cette méthode, j'ai du étudier un cas particulier afin d'arriver au cas général.
à insérer geogebra:
La fonction ci dessous est divisée en 2 parties de longueur h grâce à 3 points connu. Le point que nous avons (x1) est le point de coordonnée (0, y1). Si toutes nos "bandes" sont de longueur h et que nous en avons 2, c'est a dire que nos 2 autres points ( x0 et x2) sont de coordonnées (-h;y0) et (h;y2).
Nous avons pour forme générale de cette parabole :
Nous voulons trouver l'intégrale de cette fonction :
Or nous trouvons les valeurs des ordonnées de nos points originales (traits de séparation) :
Et nous remarquons qu'en modifiant l'intégrale que nous venons de trouver, nous retrouvons nos ordonnées :
Et nous avons alors pour finir :
Et nous avons alors pour finir :