Generalización del problema de Apolonio. Haz hiperbólico
Se buscan las circunferencias que forman un ángulo α con c1 y un ángulo β con c2. Hay infinitas soluciones, en el momento en el que se de otra condición, pasará a haber un número finito de ellas.
El trabajo con angularidades es complicado, es necesario hacer una sustitución de condiciones angulares cualesquiera a condiciones de tangencia y ortogonalidad/diametralidad.
Para ello empleamos la "inversión para pensar". En la mitad izquierda de la pantalla está el plano original, en la mitad derecha el plano inverso. Esta inversión tiene como único fin demostrar la existencia de cuatro circunferencias pertecientes al haz definido por c1 y c2 que son tangentes a las soluciones. Dos de ellas, c1+ y c2+ tangentes a todas las soluciones positivas s+, y otras dos c1- y c2- tangentes a todas las soluciones negativas s-. La circunferencia fundamental de la inversión positiva que transforma c1+ en c2+ es ortogonal a todas las soluciones positivas s+, y pertenece al haz definido por c1 y c2. Todas las soluciones negativas s- son diametrales a la circunferencia fundamental de la inversión negativa que transforma c1- en c2-, que no pertenece al haz definido por c1 y c2.
La inversión para pensar es una inversión de centro (Iaux en carmesí) sobre uno de los puntos límites del haz, por ejemplo L1, y potencia de inversión arbitraria. En el plano inverso las circunferencias del haz conjugado (en cyan) han de transformarse necesariamente en rectas, dado que pasan todas ellas por el centro de inversión. Como las circunferencias del haz han de ser ortogonales a las del haz conjugado, en el plano inverso han de ser circunferencias concéntricas. Si se considera una solución positiva (en naranja) cualquiera en el plano inverso (se podría determinar encontrando una cualquiera en el plano original e invirtiendo, por ejemplo), se ve que el problema en el plano inverso tiene simetría de revolución. Para cada recta del haz conjugado hay dos soluciones positivas, ambas del mismo radio. Debe existir entonces una circunferencia del haz que sea ortogonal a todas ellas (la de Inversión positiva en rojo), así como dos circunferencias del haz tangentes a las soluciones positivas (en rosa/púrpura).
De todas las soluciones positivas inversas, habrá dos que pasen por el centro de la Inversión auxiliar, que en el plano original serán rectas. Estas rectas se pueden determinar en el plano original haciendo uso de las goniómetras (en marrón). Las cuatro rectas tangentes a las goniómetras de condiciones angulares dadas serán casos particulares de solución. Nótese que al activar soluciones rectas (en verde oscuro)sólo se muestran dos de ellas, una positiva y otra negativa, las simétricas también serían solución. Las soluciones rectas determinan de forma trivial los centros de inversión positivo y negativo de las circunferencias ortogonales a las soluciones positivas, y a las que las soluciones negativas son diametrales, respectivamente.
Importante: las goniómetras solo se emplean para determinar las soluciones rectas. Como puede verse no cumplen ninguna otra condición con respecto a las soluciones positivas o negativas, no valen para determinar las circunferencias de inversión, y no pertenecen al haz definido por c1 y c2. Operativamente tienen un único propósito, el determinar las soluciones rectas, y emplearlas para cualquier otra cosa es un error.
Análogamente se puede ver que, como se ha dicho más arriba, existen dos circunferencias del haz tangentes a las soluciones negativas (en verde claro), que son inversa la una de la otra en la inversión negativa (en morado) a la que es diametral cualquier solución negativa(en azul).