Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom
GeoGebra

Modellierung von exponentiellem Wachstum

Autor:Christoph Linder

Messreihe

Wie schnell entwickelt sich aus einer gewissen Bakterienkultur eine kritische Menge, die beispielsweise zu negativen Effekten beim Menschen führen kann. Wir werden heute ein mathematisches Modell entwerfen, dass diese Frage beantworten möchte. Die Tabelle zeigt das Wachstum der Population einer tatsächlichen Bakterienkultur.
Image

Mit welchem Funktionstypen würdest du versuchen den Wachstumsprozess zu beschreiben?

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)
Haben wir einen geeigneten Funktionstypen ausgewählt, können wir beginnen die notwendigen Parameter zu bestimmen. Betrachte eine Exponentialfunktion mit unbekanntem Startwert und Wachstumsfaktor (x entspricht der Zeit in Minuten):

Startwert

Entnimm der Datenreihe einen geeigneten Startwert

Antwort überprüfen

Wachstumsfaktor

Bestimme nun einen geeigneten Wachstumsfaktor. Hinweis: Der Wachstumsfaktor wird nicht perfekt zu allen Zahlenwerten passen. Hier müssen wir abwägen.

Antwort überprüfen

Erzeuge deine Funktion in diesem Applet. Beurteile in der Textzeile darunter das Ergebnis.

Falls du nicht mit dem Ergebnis zufrieden bist, gehe zurück zur Wahl der Parameter und justiere nach.

Beschreibe, welchen Teil der Daten dein Modell gut beschreibt und welchen nicht. Triff eine Annahme, warum dies so ist.

Antwort überprüfen

Aussagen über die Stärke des Wachstums --> Ableitung

Zur Modellierung wurde bis jetzt eine Funktion in der Form verwendet. Um Aussagen über das Änderungsverhalten zu machen, wird allerdings ihre Ableitung benötigt. Hierzu muss die e-Funktion verwendet werden. Mit ein wenig Algebra, kann hier geschickt umgeformt werden. Gib ein geeignete in Abhängigkeit von an, sodass die Gleichung stimmt.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)
Tipp: Nutze das Potenzgesetz

Damit können wir nun die Ableitung bestimmen.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Antwort überprüfen (3)

Berechne für deine Modellfunktion und gib die Bedeutung des Werts im Sachkontext an.

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
  • G
  • H
Antwort überprüfen (3)

Halbwerts- und Verdopplungszeit:

Um verschiedene Wachstums- bzw. Abklingvorgänge besser vergleichen zu können, wird meist die Verdopplungszeit , bzw. Halbwertszeit angegeben. Das ist die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt bzw. halbiert (Wer hätte es gedacht ...). Mit der Funktion lässt sich das folgendermaßen ausdrücken: bzw. Dann nutzen wir diesen Zusammenhang, um allgemein die Verdopplungszeit herzuleiten. Bringe dazu die Umformungen in die richtige Reihenfolge.
Für die Halbwertszeit ergibt sich mehr oder weniger analog (mit etwas Umformungsmagie):

Unterscheidung von Wachstums- und Abklingvorgängen:

Am Wachstumsfaktor lässt sich leicht ablesen, ob es sich um einen Wachstums, oder einen Abklingvorgang handelt. Wird eine e-Funktion verwendet, muss man hier etwas umdenken. Für welche Werte von handelt es sich um einen Wachstumsprozess (steigender Graph) bzw. einen Abklingvorgang (fallender Graph).

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Antwort überprüfen (3)
Wir wissen bereits, dass für einen Wachstumsfaktor mit ein positives Wachstum vorliegt. Da und muss für ein positives Wachstum gelten. Analog folgt für ein negatives Wachstum.

Neue Materialien

Entdecke Materialien

Entdecke weitere Themen