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Kreise auf Darboux Cycliden 1

Autor:Walter Füchte

19. März 2020 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene

Eine Darboux Cyclide ist eine Fläche im Raum mit einer Gleichung des Typs:
  • , mit linearem und quadratischem und reellen Koeffizienten.
Darboux Cycliden sind die räumliche Fortsetzung von bizirkularen Quartiken in der komplexen Zahlenebene , bzw. auf der Riemannschen Zahlenkugel. Literatur und Erklärungen Mehr noch: jede Kugel schneidet eine Darboux Cyclide in einer bizirkularen Quartik. Denn der Schnitt einer Darboux Cyclide mit einer Kugel , mit linearem ist zugleich eine Schnittkurve der Kugel mit einem Quadrikbüschel, welches die Kugel enthält. Diese Kurven 4. ter Ordnung sind gerade die bizirkularen Quartiken. Eine Kugel, welche eine Darboux Cyclide doppelt berührt, schneidet diese in einem doppelt-zählenden Berührkreis oder in 2 Kreisen. Diese können imaginär sein oder auch in Punktkreisen zusammenfallen. Im obigen Applet kann man die zwei Schnittkreise vage erkennen. Man erzeuge zunächst die Cyclide als Spur der Höhenlinien (StartAnimation) und bewege dann die doppelt-beührende Kugel. In der -Ebene gibt es für 1-teilige bizirkulare Quartiken 2 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen und damit gibt es 2 Scharen doppelt-berührender Kugeln, mit Mittelpunkt auf der - Ebene. Erkunden Sie diese beiden Scharen einmal für und einmal für . Unten werden spezielle Darboux Cycliden mit doppelt-berührenden Kugeln geschnitten. Man kann die Kreise als Schnittkurven erahnen. Wollknäuel Geometrie Kreise auf Ellipsoiden Kreise auf Hyperboloiden


Wir haben im geToolbar Imagegebra-book Moebius-Ebene die bizirkularen Quartiken untersucht. Bizirkulare Quartiken besitzen 4 oder 2 oder nur einen Symmetriekreis. Zu einer bizirkularen Kurve auf einer Kugel im Raum gehört daher in der Regel eine Symmetrie mehr: die Kugel, welche die bizikulare Quadrik trägt, ist selber Symmetriekugel. Zu Kreisen auf der Kugel, die die bizirkulare Quartik doppelt-berühren, gehören Kugeln, welche orthogonal zur Trägerkugel die bizirkulare Quartik und damit jede Darboux Cyclide doppelt berührt, welche die Trägerkugel als Symmetriekugel besitzt und die bizirkulare Quartik enthält. Auf diese Weise findet man Kreise auf Darboux Cyliden. Damit kann man der Frage die hexagonalen Netzen aus Kreisen (hexagonal webs of circles) auf Flächen weiter nachgehen. Wir verweisen auf den Artikel "Darboux Cyclides and Webs from Circles" von H. POTTMANN, LING SHI und M. SKOPENKOV (2012 Lit. [POT_et_ali]).

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