paraboolsegment - methode 1
Bepaal een functie van de vorm .
- Wij berekenen de oppervlakte begrensd door de grafiek van f en de x-as door een integraal. Integralen kende Archimedes nog niet, maar hij had zo zijn eigen methodes. Hij vult de kromme op met driehoekjes 'zodat het verschil tussen de driehoekjes en de oppervlakte kleiner wordt dan een zandkorrel'.
- Hij vormt een eerste driehoek ABC, waarbij A en B het paraboolsegment bepalen en C de top van de parabool is. Merk op: de verhouding van de oppervlaktes van paraboolsegment en driehoek is .
- Omdat de driehoek half zo groot is als de omgeschreven rechthoek geldt uiteraard ook dat de verhouding van de rechthoek tot het paraboolsegment gelijk is aan . Archimedes bewijst zelfs dat dit steeds het geval is. Op zichzelf volstaat dit om het paraboolsegment te berekenen, maar Archimedes gaat ook zonder dit bewijs het resultaat berekenen.
- Archimedes benadert nu de oppervlakte van het paraboolsegment door bijkomende driehoekjes te tekenen op de zijden van driehoek ABC. Maar, dat kan beter!
- Op de bovenste vier zijden van de driehoekjes tekent hij weer kleinere driehoekjes. Voor is oppervlakteverschil tussen het paraboolsegment en de (intussen) 7 driehoekjes nu nog maar 2%. Hiermee is het voor Archimedes duidelijk dat hij kan blijven doorgaan tot het verschil 'kleiner wordt dan een zandkorrel'.