Ableitung der Exponentialfunktion
Anleitung:
1) Mit dem roten Schieberegler können Sie die Basis a einstellen.
2) Sie können den Ziehpunkt auf dem Graphen dem Graphen entlang ziehen und dabei die Tangente t beobachten.
3) Die Steigung der Tangente an einer Stelle x ist bekanntlich der Wert der
Ableitung an dieser Stelle. Den Wert der Steigung (bzw. der Ableitung)
bekommen Sie angezeigt, wenn Sie das Kästchen "Steigungsdreieck anzeigen"
aktivieren.
4) Wir bilden nun grafisch die Ableitungsfunktion:
Eigentlich müsste man eine Wertetabelle anlegen: Als x-Werte jeweils die
x-Werte des Ziehpunktes und als zugehörige y-Werte die
Tangentensteigungen an diesen Stellen. Dann könnte man die Funktion
zeichnen.
Wir benutzen diese Idee, lassen uns aber die Punkte für den Graphen der
Ableitungsfunktion direkt vom Computer einzeichnen (Kästchen "Steigung
als y-Wert abtragen" aktivieren).
5) Der "Spurpunkt" ist nun ein Punkt der Ableitungsfunktion. Er zeigt mit
seinem y-Wert (grüne Linie) genau die Ableitung der roten Funktion an
der Stelle x an, an der sich der Ziehpunkt gerade befindet.
Wenn man nun den Ziehpunkt weiter zieht, so passt sich auch der
Spurpunkt entsprechend an. D. h. er fährt sozusagen auf dem Graphen der
Ableitungsfunktion entlang.
6) Aktivieren Sie das Kästchen "1. Ableitung anzeigen". Sie sehen nun, der Spurpunkt liegt immer auf der 1. Ableitung, wie er es sollte.
Nun werden wir die Ableitung, so gut es geht, grafisch bestimmen. Welche Aussagen treffen auf f'(x) zu? (Variieren Sie die Basis a um die Frage zu beantworten.
Berechnen Sie für für ein paar x-Werte den Quotient . Wie lautet die Ableitungsfunktion f'(x)?
Finden Sie eine Basis, sodass f'(x)=f(x) ist? Wie lautet diese Basis?