マイナースケール上の和音
このワークシートはMath by Codeの一部です。
アプレット、背景、実装の順に見ていきましょう。
１．背景
長調は明るくていいですが、アルファベット的にはAをスタートにするスケールの方が
わかりやすいかもしれません。
そんな期待？をもちながら、マイナースケールとコードを探っていきましょう。
メジャースケールのときと同じように、
音程の特徴に目をつけることで、スケール（音の階段）とコード（和音）をつなげてみよう。
＜白鍵だけで長調と短調ができる＞
音と音の間隔の基本は全音と半音でした。
主音（スタート）を１として「ラ」（A）から
白鍵だけを１，２，３，４，５，６，７と数えます。
ラシドレミファソラ（イロハニホヘト＝ABCDEFG）
イロハもABCも1番目からになっているのでわかりやすいね。
この音のスケールをマイナー(短調）といいました。
だから、このラシドレミファソラの音階をイ短調（Aマイナー）スケールと言えますね。
黒鍵のありなしで２１２２１２２２で、全半全全半全全全になっています。
Aを１にするとマイナーですが、教会モードをここからはじめてみよう。
A＝１はエオリアン（マイナー）全半全全 半全全
B＝１はロクリアン 半全全半 全全全
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全 全全半
D＝１はドリアン 全半全全 全半全
E ＝１はフリジアン 半全全全 半全全
F ＝１はリディアン 全全全半 全全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全 全半全
完全５度（全３半１）が大半なこと、
完全４度（全２半１）が大半なこと
この２つは変わりませんね。
＜ナチュラルマイナースケール上の３和音＞
問題は、和音のカラーを決める3度です。
２、４を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番を同時に押してみます。
A＝１はエオリアン（マイナー）全半全全半全全
B＝１はロクリアン 半全全半全全全
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全全全半
D＝１はドリアン 全半全全全半全
E ＝１はフリジアン 半全全全半全全
F ＝１はリディアン 全全全半全全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全全半全
全全というのは長３度（メジャー3）、全半か半全が短３度（マイナー３）です。
A＝１の１，３，５はA－３、つまり、Am
B＝１の１，３，５はB－３・－５、つまり、Bm-5
C=1の１，３，５はC３、つまり、C
D=1の１，３，５はD－３、つまり、Dm
E=１の１，３，５はE－３、つまり、Em
F=１の１，３，５はF３、つまり、F
G=１の１，３，５はG３、つまり、G
ここで、絶対的にスケールの１（A)に合わせた、度数で再表示してみましょう。
そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）
１，３，５はAm
２，４，６はBm-5
３，５，７はC
１，４，６はDm
２，５，７はEm
１，３，６はF
２，５，７はG
ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、
白鍵の番号が２つずれるだけなので、２音ずつ共通音があります。
Amから見るとCとFは2音共通なので類似度が高いですね。
Dmから見るとBm-5は近いです。
Emから見るとGは近いです。
＜ナチュラルマイナースケール上の４和音＞
２，４，６を飛ばして、白鍵の１番と３番と5番と７番を同時に押してみます。
A＝１はエオリアン（メジャー）全半全全半全全
B＝１はロクリアン 半全全半全全全
C＝１はイオニアン（メジャー）全全半全全全半
D＝１はドリアン 全半全全全半全
E ＝１はフリジアン 半全全全半全全
F ＝１はリディアン 全全全半全全半
G＝１はミクソ・リディアン 全全半全全半全
1番から７番までの音程は全５半１か全４半２のどちらかです。
半１というのは長７度（メジャー７）、半２が短７度（マイナー７）ですが、
マイナー７が普通なのでマイナーをつけずにただの７度といいます。
１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５を同時に引いたのが３和音です。
A＝１の１，３，５、７はA－３・－７、Am7
B＝１の１，３，５、７はB－３・－５・－７、つまり、Bm7-5
C=1の１，３，５、７はC３・７、つまり、Cmaj7
D=1の１，３，５、７はDー３・ー7、つまり、Dm7
E=１の１，３，５、７はEー3・ー7、つまり、Em7
F=１の１，３，５、７はF３・７、つまり、Fmaj7
G=１の１，３，５、７はG３・ー７、つまり、G7
ここで、絶対的にスケールの１（A)に合わせた、度数で再表示してみましょう。
そして、７を超えた分は７をひき、小さい度数（番号）順に表示します。（つまり、疑似mod7）
１，３，５、７はAm７
１，２，４，６はBm７-5
２，３，５、７はCmaj7
１、３，４，６はDm７
２、４，５，７はEm７
１，３、５，６はFmaj7
２，４、６，７はG７
ダイアトニックスケールコードは７つありますが、１つおきに見ると、
白鍵の番号が２つずれるだけなので、３音ずつ共通音があります。
コード名を音の集合ととらえると、積集合の要素が３個ということです。
（例）Am7 ∩ C＝｛１，３，５｝
１度のトニックAm=｛１，３，５，７｝からみてCmaj7（３maj７）が近いです。
５度のドミナントEm7＝｛２，４，５，７｝は、Am７と共通点が｛５，７｝で、Am7の５度上なのに不安定さが少ないそのため、ドミナントの役割としてはE7を使うことが多い。
４度のサブドミナントDm7＝｛１，３，４，６｝とは、Bm7-5(2m7-5)が｛１，４，６｝共通,
Fmaj7(6maj7)は｛１，３，６｝共通、G7（７番７）は｛６｝だけ共通ですが、この音は
トニックにもドミナントにもないので、サブドミナントの代理になれます。
す。
トニック１ｍ７の代理は３ｍ７
ドミナント５ｍ７の代理はスケールコードにはない。5番７にして代理。
サブドミナント４ｍ７の代理は６番音をもつ、２ｍ７－５、６maj7、７番７。
これが標準的な考え方になるようです。
２、実装
質問：12個の主音に対するナチュラルマイナースケール上の７つのコードを表示するアプレットを作るにはどうしたらよいでしょう。
クロマチック音名を文字列にします。
NameS={"B","C","C#","D","D#","E","F","F#","G","G#","A","A#"} //音名の#系です。
C4={"m7","m7-5","maj7","m7","m7","maj7","7"} //4和音の順番がメジャーより６スライドします。
C3={"m","m-5","","m","m","",""} //3和音の順番がメジャーより６スライドします。
名前リストを２オクターブ分とります。
NS2=join(NameS,NameS)
インデックスはgeogebraなら１から24番になります。
これは、白鍵の番号ではなく、クロマチックな音階なので、区別しよう。
たとえば、Bを主音にしたときにナチュラルマイナースケールのインデックスは
全半全全半全全から、M={１，３，4、６、８，9，11}です。これがメジャーとのちがいです。
ｋ＝NameS2(n）を主音にするスケールのドレミファソラシド名は
doremi=sequence(NS2(k-1+M(i)), i, 1,7)
doremi+C3で３和音、
doremi+C4で４和音の和音名になります。
キーを選ぶスライダーをｎ（１以上12以下）とすると、
選んだキーはNameS(n)のテキストになります。
質問：スケールの音程とコードの音程が視覚化できるアプレットはどうやって作りますか？
12種類の音名があるので、12角形の点にします。
たとえば、e^(i 2π/k) k=1...12として、12個の複素数ｚ１からｚ１２を設定しましょう。
12音名のリストNameS={"B", "C",......., "A#"}にたいして、
NameS(1), NameS(2),....,NameS(12)を１つ１つのテキストオブジェクトとして、
txt1, txt2,.....txt12と名前をつけなおします。
そうして、それぞれのテキストオブジェクトtxt kの「設定」の「位置」のリストから対応するｚk
を選ぶべば、12個の頂点に、音名を表示できるようになるでしょう。
1つ１つの複素数の他に、複素数のリストpt=sequence(e^(i 2π/k), k, 1, 12)を設定しておけば、
pt(x)のｘを適当に選ぶことで、スケールに関係のある点を強調できます。
（そして、選ばれた番号の頂点ｋに対して、mod（ｋ－１,12）+1をすることで、１２のときに１２にする
変則mod12を作ることで、ｋの変化に対して、１，２、…、１２、１，２、…。１２と返します。）
選ばれたスケールの番号M={１，３，4、６、８，9，11}です。これがメジャーとの違いです。
キーをn=2としたばあい、M＋n-1={2, 4, 5, 7, 9,10,12}と、リストをシフトして、MNという名前をつけます。そして、Sequence(Mod(MN(k)-1, 12)+1,k,1,7)として複素数の番号を12個に納めます。
ここで、zip(pt(k),k,MN2)とするとMN2番目の頂点、つまりキーが２のスケール音名を強調できますね。
最後に和音がサイクリックな音名の関係、つまり円環構造なので、
スケール上の３和音、４和音の点を多角形の頂点として選びだしましょう。
3和音ならば、その和音がキーのi 番目なら、Cp3＝｛MN2(i),MN2(i+2),MN2(i+4)｝と番号リストを作ります。すると、12等分の点からpolygon(pt(Cp3(1)),pt(Cp3(2)),pt(Cp3(3)))
とするだけで三角形が指定できます。
４和音場合は、スケール上の位置MN2で、さらに偶数番増やせばよいですね。
くわしくは、かくれた「数式」を広げて、グラフィックビューを一時的にせまくして、観察しましょう。