Costruzione quadrilatero ciclico - 4
Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.
Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato.
Se ABCD è un quadrilatero ciclico per il teorema di Carnot applicato ai triangoli ABD e BCD valgono le relazioni:
e2 = a2 + d2 − 2ad cosα e e2 = b2 + c2 − 2bc cos(π − α)
dove e è la misura della diagonale BD e α l'angolo relativo al vertice A. Dalle due relazioni si ricava checosα = (a2 + d2 − (b2 + c2))/(2(ad + bc)).
Una volta calcolato il cosα è possibile costruire il quadrilatero ciclico ABCD. Supponiamo cosα > 0.- Costruiamo il punto A e la circonferenza di centro A e raggio a e vincoliamo un punto B alla circonferenza. Tracciamo la retta AB. Tracciamo la circonferenza di centro A e raggio cosα, la intersechiamo con la retta AB e consideriamo punto H d'intersezione dalla parte di B. Tracciamo la circonferenza di raggio unitario e la intersechiamo con la perpendicolare ad AB per H nel punto K. Tracciamo la retta AK. Per costruzione la misura dell'angolo ∠HAK è α.
- Costruiamo il punto D intersezione tra la circonferenza di centro A e raggio d e la retta AK.
- Costruiamo il punto C intersezione tra la circonferenza di centro B e raggio b e la circonferenza di centro D e raggio c.
La costruzione con riga e compasso del segmento di lunghezza cosα si trova all'indirizzo https://www.geogebra.org/m/kdetmrmc.